Можете подсказать, к кому в Москве обратиться за межеванием земельного участка, чтобы сделано всё было максимально быстро? Ранее мне просто подобными услугами пользоваться не приходилось.

Я бы на вашем месте поискал кадастровых инженеров через Профи Ру, там довольно много таких специалистов. Уточните сроки у нескольких кандидатов, и обратитесь к тому, чьи условия вас устроят.

Не думаю, что частный специалист сможет быстро межевание земельного участка провести, и не допустить при этом серьёзных ошибок. Как по мне, лучше поручить эту задачу какой-нибудь крупной компании. Например, можете ознакомиться с расценками и сроками этой организации https://kadastrros.ru/ . Вашу задачу она сможет решить примерно за полторы-две недели.